일반적으로 바퀴는 둥글어야 굴러간다고 생각하지만 세모난 바퀴와 네모난 바퀴도 실제로 굴러갈 수 있습니다. 이런 특별한 바퀴들은 일정한 폭을 가진 곡선(constant width curve)과 특수한 트랙 설계라는 수학적 원리를 이용합니다. 삼각형 바퀴의 경우 뢸로 삼각형이라는 특수한 형태를 사용하고, 정사각형 바퀴는 연쇄곡선이라는 수학적 곡선 위에서 굴러갈 수 있습니다. 이 놀라운 메커니즘들은 물리학과 수학이 결합된 아름다운 예시로 실제 공학 분야에서도 활용되고 있습니다.
뢸로 삼각형의 회전 메커니즘
뢸로 삼각형은 19세기 독일 공학자 프란츠 뢸로의 이름을 딴 특별한 곡선입니다. 이 삼각형은 정삼각형의 각 꼭짓점을 중심으로 하여 반대편 모서리의 길이를 반지름으로 하는 원호를 그어 만듭니다. 가장 놀라운 특징은 일정한 폭을 갖는다는 것입니다. 일정한 폭이란 어떤 방향에서 두 평행선으로 감쌀 때 그 거리가 항상 같다는 의미입니다. 따라서 뢸로 삼각형 바퀴는 평평한 면을 굴러가면서도 바퀴의 중심이 일정한 높이를 유지할 수 있습니다. 하지만 바퀴 축은 회전하면서 위아래로 약간씩 진동하게 됩니다.
- 뢸로 삼각형의 너비는 정삼각형 한 변의 길이와 정확히 같습니다
- 이 형태는 완전한 원 다음으로 가장 간단한 일정한 폭 곡선입니다
- 실제로 로터리 엔진의 완켈 엔진에서 비슷한 원리가 사용됩니다
- 연필이나 기타 피크 등에서도 이 형태를 볼 수 있습니다
정사각형 바퀴와 연쇄곡선의 관계
정사각형 바퀴가 부드럽게 굴러가려면 특별한 모양의 트랙이 필요합니다. 이 트랙은 연쇄곡선(catenary)을 뒤집은 모양으로 만들어집니다. 연쇄곡선은 밧줄이나 사슬을 양쪽 끝에서 잡고 늘어뜨렸을 때 만들어지는 자연스러운 곡선입니다. 수학적으로는 하이퍼볼릭 코사인 함수로 표현됩니다. 정사각형 바퀴가 이런 연쇄곡선을 뒤집은 트랙 위를 굴러갈 때 바퀴의 축은 완전히 수평을 유지하며 움직입니다.
| 바퀴 형태 | 필요한 트랙 | 특징 |
|---|---|---|
| 정사각형 | 뒤집힌 연쇄곡선 | 축이 수평 유지 |
| 정오각형 | 연쇄곡선 조각들 | 부드러운 굴림 |
| 정육각형 이상 | 평평해지는 곡선 | 일정한 속도 가능 |
| 원형 | 직선 | 가장 효율적 |
일정한 폭 곡선의 수학적 원리
일정한 폭 곡선의 핵심은 모든 방향에서 측정한 폭이 동일하다는 것입니다. 이는 바퀴가 굴러갈 때 접촉면이 계속 유지되어야 하는 조건과 직결됩니다. 일정한 폭을 가진 곡선들은 무한히 많이 존재하며 각각 고유한 특성을 갖습니다. 원은 가장 넓은 면적을 갖고 뢸로 삼각형은 가장 작은 면적을 갖습니다. 바르비에 정리에 따르면 일정한 폭을 가진 모든 곡선의 둘레는 폭에 파이를 곱한 값과 같습니다.
이런 곡선들은 실제 응용에서도 중요한 역할을 합니다. 영국의 20펜스와 50펜스 동전은 뢸로 칠각형 모양이고 캐나다 1달러 동전은 뢸로 11각형입니다. 이렇게 만들면 자동판매기에서 동전의 방향과 관계없이 일정한 폭으로 인식할 수 있습니다.
삼각형 바퀴가 굴러가지 못하는 이유
흥미롭게도 정삼각형 바퀴는 부드럽게 굴러갈 수 없습니다. 정삼각형이 하나의 연쇄곡선 위를 굴러가다 보면 다음 연쇄곡선과 충돌하게 됩니다. 이는 정삼각형의 각도가 너무 날카롭기 때문입니다. 따라서 삼각형을 바퀴로 사용하려면 뢸로 삼각형처럼 모서리를 곡선으로 만들어야 합니다. 유튜버들이 만든 삼각형 바퀴 자전거는 실제로는 뢸로 삼각형의 원리를 사용한 것입니다.
정다각형 바퀴의 경우 변의 개수가 증가할수록 연쇄곡선 조각들이 더 짧고 평평해집니다. 변의 개수가 무한대로 갈 때 바퀴는 원이 되고 트랙은 직선이 됩니다. 이것이 우리가 일반적으로 사용하는 바퀴와 도로의 관계입니다.
실제 공학 분야의 응용
이런 특별한 바퀴와 곡선의 원리는 다양한 공학 분야에서 활용됩니다. 완켈 로터리 엔진의 로터는 뢸로 삼각형과 비슷한 형태를 가지며 정사각형 내부에서 회전합니다. 영화 프로젝터에서는 뢸로 삼각형을 이용해 필름을 정확한 간격으로 움직이게 합니다. 공학자들은 또한 MEMS(미세전자기계시스템) 분야에서 이런 원리를 응용한 초소형 장치들을 연구하고 있습니다.
건축 분야에서도 연쇄곡선의 원리가 중요하게 사용됩니다. 연쇄곡선을 뒤집으면 자중만으로 완벽한 아치를 만들 수 있기 때문입니다. 세인트루이스의 게이트웨이 아치가 바로 이런 연쇄곡선 형태입니다.
바퀴 형태와 굴림 효율성
다양한 바퀴 형태 중에서 원형 바퀴가 가장 효율적인 이유는 관성 모멘트가 가장 작기 때문입니다. 같은 면적의 도형 중에서 원은 회전시키는 데 가장 적은 에너지가 필요합니다. 반면 정사각형 바퀴는 모서리를 넘어갈 때마다 추가 에너지가 필요하고 위치 에너지가 변화합니다. 이 때문에 정사각형 바퀴로 움직이는 자전거는 흔들림을 느낄 수 있습니다.
하지만 특수한 환경에서는 원형이 아닌 바퀴가 더 유용할 수 있습니다. 예를 들어 파나소닉의 룰로 로봇청소기는 뢸로 삼각형 형태로 설계되어 방 모서리의 먼지까지 효과적으로 청소할 수 있습니다. 드릴 비트 중에는 뢸로 삼각형 형태를 이용해 거의 정사각형에 가까운 구멍을 뚫을 수 있는 것들도 있습니다.
미래의 바퀴 기술과 연구 방향
현재 연구자들은 더 복잡한 바퀴 형태와 그에 맞는 도로 설계를 연구하고 있습니다. 타원형 바퀴나 심장꼴 바퀴 그리고 다양한 꽃잎 모양의 바퀴들이 각각 특별한 도로 위에서 굴러갈 톱니 모양의 도로에서는 등각나선으로 만든 바퀴가 필요합니다. 최근 수학자들은 고차원에서도 일정한 폭을 가진 도형들을 발견해 새로운 공학적 응용 가능성을 열었습니다.
미래에는 이런 원리들이 나노 기술이나 우주 탐사용 로버 그리고 특수 환경에서 작동하는 로봇들에 응용될 수 있습니다. 특히 울퉁불퉁한 지형이나 극한 환경에서는 기존의 원형 바퀴보다 뢸로 삼각형이나 다른 특수 형태의 바퀴가 더 효과적일 수 있습니다. 이처럼 세모난 바퀴와 네모난 바퀴의 굴림 메커니즘은 단순한 호기심을 넘어 실제 기술 발전에 기여하는 중요한 연구 분야입니다.
