미분은 수학에서 가장 중요한 개념 중 하나로, 함수의 순간변화율을 구하는 과정입니다. 많은 학생들이 미분문제를 어려워하지만, 체계적인 접근법과 핵심 공식들을 익히면 어떤 복잡한 문제도 단계별로 해결할 수 있습니다. 이 가이드에서는 기본 미분공식부터 연쇄법칙, 곱의법칙, 몫의법칙까지 실전에서 바로 활용할 수 있는 7가지 핵심 테크닉을 다루겠습니다.
1. 기본 미분공식 마스터하기
미분의 기초가 되는 기본공식들을 먼저 완전히 익혀야 합니다. 가장 중요한 거듭제곱 법칙(Power Rule)은 f(x) = x^n일 때 f'(x) = nx^(n-1)입니다. 예를 들어 f(x) = x³이면 f'(x) = 3x²가 됩니다. 상수함수의 도함수는 항상 0이며, 삼각함수의 경우 sin(x)의 도함수는 cos(x), cos(x)의 도함수는 -sin(x)입니다. 지수함수 e^x는 특별히 자기 자신이 도함수가 되는 특성을 가집니다. 이러한 기본 미분공식들을 암기하는 것이 모든 미분문제 해결의 출발점입니다.
2. 함수의 합과 차 미분법
여러 함수가 더해지거나 빼진 형태의 미분은 각 항을 개별적으로 미분한 후 더하거나 빼면 됩니다. 예를 들어 f(x) = x³ + 2x² – 5x + 7이라면, f'(x) = 3x² + 4x – 5가 됩니다. 상수항 7은 미분하면 0이 되어 사라집니다. 이 법칙은 선형성(Linearity) 때문에 성립하며, 아무리 많은 항이 있어도 동일하게 적용됩니다. 상수배가 곱해진 경우에도 상수는 그대로 두고 함수 부분만 미분하면 됩니다.
- 각 항을 개별적으로 미분
- 상수항은 미분하면 0
- 상수배는 앞에 그대로 둠
- 결과를 더하거나 뺌
3. 곱의 법칙(Product Rule) 활용하기
두 함수의 곱으로 이루어진 함수를 미분할 때는 곱의 법칙을 사용합니다. f(x) = u(x) × v(x)일 때, f'(x) = u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)입니다. 즉, 첫 번째 함수를 미분한 것과 두 번째 함수의 곱에, 첫 번째 함수와 두 번째 함수를 미분한 것의 곱을 더하는 것입니다. 예를 들어 f(x) = x² × sin(x)라면, f'(x) = 2x × sin(x) + x² × cos(x)가 됩니다. 이 법칙은 연쇄법칙과 함께 사용되는 경우가 많아 반복 연습이 필요합니다.
| 함수 형태 | 미분법칙 | 예시 |
|---|---|---|
| f(x) × g(x) | f'(x)g(x) + f(x)g'(x) | x²sin(x) → 2x·sin(x) + x²·cos(x) |
| x^n × h(x) | nx^(n-1)h(x) + x^n·h'(x) | x³ln(x) → 3x²ln(x) + x³/x |
| 삼각함수의 곱 | 각각 미분 후 적용 | sin(x)cos(x) → cos²(x) – sin²(x) |
| 지수함수와의 곱 | 지수함수 특성 활용 | xe^x → e^x + xe^x |
4. 몫의 법칙(Quotient Rule) 완전정복
분수 형태의 함수를 미분할 때 사용하는 몫의 법칙은 f(x) = u(x)/v(x)일 때 f'(x) = [u'(x)v(x) – u(x)v'(x)] / [v(x)]²입니다. 분자는 분자를 미분한 것과 분모의 곱에서 분자와 분모를 미분한 것의 곱을 뺀 것이고, 분모는 원래 분모의 제곱입니다. 예를 들어 f(x) = (x² + 1)/(x – 1)이라면, 분자를 u = x² + 1, 분모를 v = x – 1로 놓고 u’ = 2x, v’ = 1을 구한 후 공식에 대입합니다. 계산 실수를 줄이기 위해 분자와 분모를 명확히 구분하고 단계별로 천천히 계산하는 것이 중요합니다.
몫의 법칙에서 가장 흔한 실수는 부호를 잘못 처리하는 것입니다. 분자에서 u’v – uv’ 순서를 반드시 지켜야 하며, 분모는 항상 원래 분모의 제곱이라는 점을 기억해야 합니다. 복잡한 분수함수의 경우 약분이 가능한지 확인하여 최종 답을 간단히 정리하는 것도 좋은 습관입니다.
5. 연쇄법칙(Chain Rule)으로 합성함수 미분하기
합성함수 f(g(x))의 미분에는 연쇄법칙을 사용합니다. 바깥 함수의 도함수에 안쪽 함수를 그대로 넣은 것과 안쪽 함수의 도함수를 곱하면 됩니다. 수식으로 표현하면 [f(g(x))]’ = f'(g(x)) × g'(x)입니다. 예를 들어 sin(x²)을 미분한다면, 바깥 함수는 sin, 안쪽 함수는 x²입니다. sin의 도함수는 cos이므로 cos(x²) × 2x = 2x cos(x²)가 됩니다. 연쇄법칙은 여러 층으로 합성된 함수에도 반복적으로 적용할 수 있습니다.
연쇄법칙을 성공적으로 적용하려면 함수의 구조를 정확히 파악하는 것이 핵심입니다. 안쪽에서 바깥쪽으로 차례대로 어떤 함수들이 합성되어 있는지 분석한 후, 바깥쪽부터 순차적으로 미분하되 안쪽 함수는 그대로 유지하면서 마지막에 안쪽 함수의 도함수를 곱해주면 됩니다. 복잡한 합성함수일수록 단계를 나누어 차근차근 계산하는 것이 실수를 방지하는 가장 좋은 방법입니다.
6. 삼각함수와 지수함수 미분의 특수 기법
삼각함수 미분에서는 각 함수의 고유한 미분공식을 정확히 기억해야 합니다. sin(x)의 도함수는 cos(x), cos(x)의 도함수는 -sin(x), tan(x)의 도함수는 sec²(x)입니다. 지수함수 중에서 자연지수 e^x는 자기 자신이 도함수가 되는 특별한 성질을 가지며, 일반적인 지수함수 a^x의 도함수는 a^x × ln(a)입니다. 로그함수 ln(x)의 도함수는 1/x이고, log_a(x)의 도함수는 1/(x ln(a))입니다. 이러한 특수함수들의 미분공식은 암기가 필수이며, 연쇄법칙과 결합하여 사용되는 경우가 매우 많습니다.
- 삼각함수: sin→cos, cos→-sin, tan→sec²
- 역삼각함수: arcsin, arccos, arctan 등의 공식
- 지수함수: e^x→e^x, a^x→a^x ln(a)
- 로그함수: ln(x)→1/x, log_a(x)→1/(x ln(a))
7. 음함수 미분과 고차 도함수 구하기
y가 x에 대한 함수로 명시적으로 표현되지 않은 음함수(Implicit Function)의 경우, 양변을 x에 대해 미분한 후 dy/dx에 대해 정리합니다. 예를 들어 x² + y² = 25라는 원의 방정식에서 y를 구하지 않고 직접 미분하면 2x + 2y(dy/dx) = 0이 되어 dy/dx = -x/y를 얻을 수 있습니다. 고차 도함수는 1차 도함수를 구한 후 다시 미분하여 구하며, f”(x), f”'(x) 등으로 표기합니다. 물리학에서 위치함수를 미분하면 속도, 속도를 다시 미분하면 가속도가 되는 것처럼 고차 도함수는 실제 응용에서도 중요한 의미를 갖습니다.
음함수 미분에서는 y도 x의 함수라는 점을 항상 염두에 두어야 합니다. y가 포함된 항을 미분할 때마다 연쇄법칙에 의해 dy/dx가 곱해진다는 것을 잊으면 안 됩니다. 또한 최종 답에서 dy/dx를 한쪽으로 모아 정리하는 과정에서 대수적 조작이 필요하므로, 방정식을 정리하는 기본기도 중요합니다. 온라인 미분 계산기를 사용해 답을 확인하는 것도 학습에 도움이 됩니다.
