고등학교 2학년 수학은 함수와 그래프의 개념이 본격적으로 등장하는 중요한 시기입니다. 이차함수부터 지수함수, 로그함수까지 다양한 함수의 성질을 이해하고 그래프를 해석하는 능력이 수능과 내신에서 성공의 열쇠가 됩니다. 특히 함수의 정의역, 치역, 최댓값, 최솟값 등의 개념과 함께 그래프의 변화를 정확히 파악하는 것이 핵심입니다. 이 글에서는 고2 수학의 주요 함수들을 체계적으로 분석하고 효과적인 학습 방법을 제시하겠습니다.
이차함수의 기본 개념과 그래프 특성
이차함수 f(x) = ax² + bx + c는 고2 수학의 핵심 내용 중 하나입니다. 이차함수의 그래프는 포물선 형태를 가지며, a의 부호에 따라 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 모양을 나타냅니다. a > 0이면 아래로 볼록한 포물선이 되어 최솟값을 가지고, a < 0이면 위로 볼록한 포물선이 되어 최댓값을 가집니다. 꼭짓점의 좌표는 (-b/2a, f(-b/2a))로 구할 수 있으며, 이는 이차함수의 대칭축과 직결됩니다. 판별식 D = b² – 4ac를 통해 그래프와 x축의 교점 개수를 판단할 수 있어, D > 0이면 서로 다른 두 실근, D = 0이면 중근, D < 0이면 실근이 없음을 의미합니다.
지수함수와 로그함수의 상호 관계
지수함수 f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1)와 로그함수 g(x) = logₐx는 서로 역함수 관계에 있습니다. 지수함수는 밑 a의 값에 따라 증가함수와 감소함수로 나뉩니다.
- a > 1일 때: 지수함수는 증가함수이며, x가 증가할수록 함수값이 급격히 증가합니다
- 0 < a < 1일 때: 지수함수는 감소함수이며, x가 증가할수록 함수값이 0에 가까워집니다
- 로그함수는 정의역이 x > 0이며, 밑이 1보다 클 때 증가함수입니다
- 지수함수와 로그함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭입니다
삼각함수의 주기성과 그래프 변환
삼각함수 sin x, cos x, tan x는 주기함수의 대표적인 예시입니다. sin x와 cos x의 주기는 2π이고, tan x의 주기는 π입니다. 삼각함수의 그래프 변환은 다음과 같은 규칙을 따릅니다.
| 변환 형태 | 그래프 변화 | 특징 |
|---|---|---|
| y = a sin x | 진폭이 |a|로 변함 | 최댓값과 최솟값의 절댓값이 a |
| y = sin(bx) | 주기가 2π/b로 변함 | b > 1이면 주기가 짧아짐 |
| y = sin(x + c) | x축 방향으로 -c만큼 평행이동 | 위상이 c만큼 앞당겨짐 |
| y = sin x + d | y축 방향으로 d만큼 평행이동 | 기준선이 y = d가 됨 |
유리함수의 점근선과 그래프 해석
유리함수는 f(x) = P(x)/Q(x) 형태로 표현되며, 여기서 P(x)와 Q(x)는 다항함수입니다. 유리함수의 점근선 분석이 핵심입니다. 수직점근선은 분모가 0이 되는 x값에서 나타나고, 수평점근선은 분자와 분모의 차수 관계에 따라 결정됩니다. 분자의 차수가 분모보다 작으면 y = 0이 수평점근선이 되고, 같으면 최고차항 계수의 비가 수평점근선이 됩니다.
유리함수의 그래프를 그릴 때는 점근선을 먼저 찾고, x절편과 y절편을 구한 후 각 구간에서의 함수값 변화를 파악해야 합니다. 특히 점근선 근처에서의 함수 거동을 정확히 이해하는 것이 중요합니다.
절댓값 함수와 구간별 정의함수
절댓값 함수 f(x) = |x|는 x ≥ 0일 때 f(x) = x이고, x < 0일 때 f(x) = -x가 됩니다. 이를 확장한 f(x) = |ax + b| 형태의 함수는 ax + b = 0인 점에서 그래프의 방향이 바뀝니다. 절댓값 함수의 특성을 이해하면 복잡한 절댓값 문제도 쉽게 해결할 수 있습니다.
구간별 정의함수는 정의역을 여러 구간으로 나누어 각 구간에서 서로 다른 함수식으로 정의된 함수입니다. 이러한 함수의 그래프를 그릴 때는 각 구간에서의 함수식을 정확히 파악하고, 구간의 경계점에서의 연속성을 확인해야 합니다.
함수의 합성과 역함수 관계
함수의 합성 (f∘g)(x) = f(g(x))는 고2 수학에서 중요한 개념입니다. 합성함수의 정의역은 g의 정의역과 f의 정의역이 만족하는 조건을 모두 고려해야 합니다. 함수의 합성에서는 순서가 중요하며, 일반적으로 f∘g ≠ g∘f입니다.
역함수는 원함수 y = f(x)에서 x와 y의 역할을 바꾼 것으로, f⁻¹(y) = x가 됩니다. 역함수가 존재하려면 원함수가 일대일 대응이어야 하며, 역함수의 그래프는 원함수의 그래프를 직선 y = x에 대해 대칭이동한 것과 같습니다. 역함수의 성질을 활용하면 복잡한 함수 문제를 효율적으로 해결할 수 있습니다.
